1) Determinar todos los valores de "a" perteneciente a los Reales para que la distancia de P=(a,-1) a Q= (6,2) sea igual a 5.
donde "d" es el valor de la distancia, en nuestro caso tenemos que reemplazar por los valores de los puntos P y Q, con lo que nos quedaria lo siguiente.
ahora lo que nos queda es resolver esta ecuacion cuadratica y ver cuales son los valores de "a".
a^2 -12a +20 = 0 aplicamos la formula vista anteriormente y obtenemos los dos valores de "a" ==> a = 2 y a =10. Podemos calcular ahora la distancia con estos valores de "a" y vamos a ver que cumple lo que nos pedian.
2) Hallar la función cuadrática f cuyo gráfico es la parábola de vértice (-2, 5) que pasa por (-3,7). Para la función f hallada, dar el intervalo de crecimiento.
Solucion: Para resolver este ejercicio vamos a tener que recordar que una funcion cuadratica podiamos escribirla en funcion de las coordenadas de su vertice.
f(x)= a(X-Xv)^2 + Yv con V=(Xv;Yv) siendo V el vertice de la parabola y Xv e Yv las coordenas de este, ahora con el dato que nos dan podemos escribir la expresion de nuestra parabola de segundo grado.
f(x)=a(X-(-2))^2 + 5 pero nos esta faltando el valor de "a", para poder hallarlo vamos a usar el otro dato que nos dan que es el punto por donde pasa la parabola, entonces planteamos lo siguiente f(-3)=7.
7=a(-3+2)^2 + 5 => 7=a + 5 => a=2.
entonces la expresion de nuestra funcion cuadratica es f(x)=2(X+2)^2 +5, ahora para poder dar el intervalo de crecimiento lo unico que tenemos que ver es que la funcion crece a partir del vertice ya que como a>2 la grafica de la parabola es como una U, por lo tanto el intervalo pedido es: [-2; +infinito).
3) Dada f = 6/(x-1) calcular f-1 (x) y dar dominio de f-1 e imagen de f-1.
Solucion: para calcular la inversa de una funcion debemos intercambiar el nombre de las variables, en este caso tengo y = 6/(x-1) y lo que quiero obtener es la funcion inversa, para esto cambio el nombre de las variables y me queda x = 6/(y-1), ahora lo que debo hacer es despejar la variable "y".
y-1 = 6/x => y = (6/x) +1 con esto obtube f-1(x). Ahora para ver el dominio tengo que ver cuales son los valores de X en los que la funcion no puede ser evaluada, en este caso es muy facil darse cuenta de que X no puede tomar el valor cero (0) ya que la division por cero no esta definida, osea el dominio son todos los numero Reales excepto el cero. Para ver la imagen de ésta debo ver que valores me devuelve la funcion y para eso puedo graficarla y ver que esta funcion tiene una asintota horizontal en Y=1 osea que mi imagen son todos los numeros Reales excepto el numero 1.
4)Dadas f(x)=ln (x+6), g(x)= x^2 -21 y h=fog, hallar los ceros y los intervalos de positividad de h.
Solucion: nuevamente tenemos una composicion de funciones donde h=f[g(x)], si realizamos esta composicion nos quedara lo siguiente. h= ln (x^2 - 21 + 6) si resolvemos lo que esta dentro del parentesis nos queda finalmente h = ln (x^2 - 15), ahora podemos encontrar los ceros de esta nueva funcion, para lo cual debemos plantear h=0 esto nos lleva al siguiente razonamiento, para que la funcion devuelva un cero debemos ver que el argumento del logaritmo tiene que ser igual a 1, ¿porque? por que sabemos que el logaritmo de "1" en cualquier base es cero.
x^2 -15 = 1 >> x^2 = 16 >> |x| = 4 >> x=4 ó x=-4 estos son los dos ceros de la función. Para ver el intervalo de positividad tengo que ver para que valores la funcion h devuelve valores positivos, para eso tengo que ver que valores de la funcion cuadratica hacen que sea mayor a cero.
x^2 - 15 > 0 >> x^2 > 15 >> |x| > 15^0.5 por lo tanto para valores mayores a la raiz cuadrada de 15 y para valores menores a la -(15^0.5) la funcion h toma valores positivos y este es el intervalo que no pedian.
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Solución: Otra vez como en el parcial anterior para poder hallar el/los valores de "a" tal que cumpla la condicion que nos piden vamos a tener que usar la formula de distancia entre dos puntos, veamos como nos queda.
a^2 -12a +20 = 0 aplicamos la formula vista anteriormente y obtenemos los dos valores de "a" ==> a = 2 y a =10. Podemos calcular ahora la distancia con estos valores de "a" y vamos a ver que cumple lo que nos pedian.
2) Hallar la función cuadrática f cuyo gráfico es la parábola de vértice (-2, 5) que pasa por (-3,7). Para la función f hallada, dar el intervalo de crecimiento.
Solucion: Para resolver este ejercicio vamos a tener que recordar que una funcion cuadratica podiamos escribirla en funcion de las coordenadas de su vertice.
f(x)= a(X-Xv)^2 + Yv con V=(Xv;Yv) siendo V el vertice de la parabola y Xv e Yv las coordenas de este, ahora con el dato que nos dan podemos escribir la expresion de nuestra parabola de segundo grado.
f(x)=a(X-(-2))^2 + 5 pero nos esta faltando el valor de "a", para poder hallarlo vamos a usar el otro dato que nos dan que es el punto por donde pasa la parabola, entonces planteamos lo siguiente f(-3)=7.
7=a(-3+2)^2 + 5 => 7=a + 5 => a=2.
entonces la expresion de nuestra funcion cuadratica es f(x)=2(X+2)^2 +5, ahora para poder dar el intervalo de crecimiento lo unico que tenemos que ver es que la funcion crece a partir del vertice ya que como a>2 la grafica de la parabola es como una U, por lo tanto el intervalo pedido es: [-2; +infinito).
3) Dada f = 6/(x-1) calcular f-1 (x) y dar dominio de f-1 e imagen de f-1.
Solucion: para calcular la inversa de una funcion debemos intercambiar el nombre de las variables, en este caso tengo y = 6/(x-1) y lo que quiero obtener es la funcion inversa, para esto cambio el nombre de las variables y me queda x = 6/(y-1), ahora lo que debo hacer es despejar la variable "y".
y-1 = 6/x => y = (6/x) +1 con esto obtube f-1(x). Ahora para ver el dominio tengo que ver cuales son los valores de X en los que la funcion no puede ser evaluada, en este caso es muy facil darse cuenta de que X no puede tomar el valor cero (0) ya que la division por cero no esta definida, osea el dominio son todos los numero Reales excepto el cero. Para ver la imagen de ésta debo ver que valores me devuelve la funcion y para eso puedo graficarla y ver que esta funcion tiene una asintota horizontal en Y=1 osea que mi imagen son todos los numeros Reales excepto el numero 1.
4)Dadas f(x)=ln (x+6), g(x)= x^2 -21 y h=fog, hallar los ceros y los intervalos de positividad de h.
Solucion: nuevamente tenemos una composicion de funciones donde h=f[g(x)], si realizamos esta composicion nos quedara lo siguiente. h= ln (x^2 - 21 + 6) si resolvemos lo que esta dentro del parentesis nos queda finalmente h = ln (x^2 - 15), ahora podemos encontrar los ceros de esta nueva funcion, para lo cual debemos plantear h=0 esto nos lleva al siguiente razonamiento, para que la funcion devuelva un cero debemos ver que el argumento del logaritmo tiene que ser igual a 1, ¿porque? por que sabemos que el logaritmo de "1" en cualquier base es cero.
x^2 -15 = 1 >> x^2 = 16 >> |x| = 4 >> x=4 ó x=-4 estos son los dos ceros de la función. Para ver el intervalo de positividad tengo que ver para que valores la funcion h devuelve valores positivos, para eso tengo que ver que valores de la funcion cuadratica hacen que sea mayor a cero.
x^2 - 15 > 0 >> x^2 > 15 >> |x| > 15^0.5 por lo tanto para valores mayores a la raiz cuadrada de 15 y para valores menores a la -(15^0.5) la funcion h toma valores positivos y este es el intervalo que no pedian.
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