Un ejemplo de sistema de ecuaciones lineales es el siguiente:
existen varios metodos para su resolucion, veamos los mas comunes.
1) Método de Igualación:
en este metodo lo que tenemos que hacer es lo siguiente:
- despejar de la primera ecuacion cualquiera de las variables (x o y).
- despejar de la segunda ecuacion la misma variable que despejamos en el paso anterior.
- igualamos la variables que despejamos y resolvemos la ecuacion.
1) y = 11 -3X
2) y = 5X -13
3) 11 - 3X = 5X -13
resuelvo la ecuacion y me da que x=3
ahora como obtuve el valor de "x", para saber cual es el valor de "y" reemplazo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones del punto 1) o 2), por ejemplo lo reemplazo en 1).
y= 11 - 3.3
y= 11 - 9
y= 2
con esto ya obtuve cuales son los pares de valores X e Y que cumplen con el sistema de ecuaciones dado.
2) Método de Sustitución:
Este metodo es parecido al anterior y como siempre a lo que llegamos es tener una ecuacion con una sola variable la cual debemos resolver, veamos los pasos a seguir:
- despejar de la primera ecuacion cualquiera de las variables (x o y).
- sustituir la variable despejada en el punto 1) en la segunda ecuacion.
- resolvemos la ecuacion que nos quedo.
1) y = 11 -3X
2)reemplazo la "y" despejada en el paso 1) en la segunda ecuacion
5x - (11 - 3x) = 13
3) resuelvo esta ecuacion
5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
x=3
Ahora para saber cual es el valor de "y" reemplazo este valor hallado en la ecuacion del punto 1)
y = 11 - 3.3
y=2
3) Método de los Determinantes: para poder estudiar este metodo primero vamos a definir que se entiende por determinante.
para un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas el determinante de coeficientes principales se calcula como se ve en la figura. Aplicado a nuestro sistema de ecuaciones el determinante de coefic. principales seria el siguiente:
a este determinante se lo llama delta, observemos que el determinante se forma con los coeficientes de X e Y, una vez que calculamos delta el paso siguiente es obtener deltaX y deltaY, que se calculan de la siguiente manera.
Debemos observar que DeltaX se calcula ubicando en la columna de las X los valores del lado derecho de cada ecuacion de nuestro sistema (11 y 13 en nuestro caso), lo mismo con la columna de las Y para el calculo de DeltaY, una vez calculado estos valores vamos a poder calcular el valor de las variables X e Y de la siguiente forma:
4) Método Gráfico:
Para poder aplicar este método lo primero que debemos hacer es despejar la variable ''y'' de ambas ecuaciones , ya que como veremos cada una de estas representa una recta, veamos como queda.
Ahora que ya tenemos estas dos rectas vamos a graficar en nuestros ejes cartesianos.
como podemos ver estas dos rectas se cortan en el punto P=(2;3) por lo que nuestra solucion es X=2 e Y=3. Cabe aclarar que este metodo solo es útil cuando los valores son exactos ya que si los valores de la solucion son por ejemplo x=1.54 e y=5.29 seria dificil saber estos valores con solo mirar el grafico. 5) Método de Gauss-Jordan:
Bueno este para mi es el mejor metodo con el que contamos para un sistema de ecuaciones de nxn, no solo para 2x2, pero para la explicacion necesitamos saber como tenemos que tener expresado nuestro sistema de ecuaciones para poder aplicar este metodo.
Supongamos tener que resolver este sistema de ecuaciones (3x3), observemos que tenemos todas las variables del lado izquierdo y ordenadas de forma que la primer columna es de "x", la segunda de "y" y la tercera de "z", esto es muy importante ya que tenemos que tener las mismas variables en la misma columna.
Como vemos al crear la matriz extendida de los coeficientes nos queda como la figura de arriba, ahora vamos a ver cual es el fin del metodo y que operaciones se pueden realizar para llegar a la solucion. El fin de este metodo es obtener ceros en todas las posiciones por debajo de la diagonal principal (en este caso la diagonal principal esta formada por 2; -1;2).
Aclaremos que la diagonal principal es la que va desde la posicion (1,1)(2,2)(3,3).......(n,n) entendiendo que la posicion (n,m) es la fila numero "n" y la columna numero "m", en el caso de la matriz de arriba la diagonal principal esta compuesta por los valores a1, b2 y c3.
Operaciones permitidas para resolver los sistemas:
- sumar una fila a otra.
- multiplicar una fila por una constate k.
- dividir una fila por una constante k.
- sumar o restar el multiplo de una fila a otra fila.
- intercambiar de lugar una fila por otra.
-z=1 con lo cual ya tengo el valor de "z"
z= -1, para obtener el valor de "y" tengo que plantear y + z = 2 pero como ya se el valor de z obtengo que y=3
por ultimo para saber el valor "x" planteo la ecuacion de la primer fila
