1- si 
escribir la ecuacion de la recta tangente al grafico de f en el punto de abscisa x = 3.
Solucion: Lo primero que debemos recordar es que la derivada de una funcion f nos da otra funcion (f ' ) que si esta nueva funcion la evaluamos en un punto nos va a dar la pendiente de la recta tangente a f en ese punto, bueno con esta aclaracion ya sabemos que debemos derivar la funcion que nos dieron (f), pero antes veamos cual es la expresion de una recta generica:
y = mX + b donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.
esta es la derivada de nuestra funcion, ahora la evaluamos en el punto x = 3. y nos queda lo siguiente.
como vemos nos da 5/2 entonces ya tenemos el primer dato de la recta que nos piden ==> m = 5/2 entonces nuestra recta nos quedaria asi y = 5/2X + b pero aun nos falta averiguar el valor de b para completar, para obtener el valor de b tenemos que evaluar la funcion f en el punto x = 3.
con este nuevo dato ahora podemos averiguar el valor de b de la siguiente forma:
5 = 5/2.3 + b ==> b = -5/2 con lo cual la recta que nos pides es y = 5/2.X - 5/2
2 - Dada la funcion
hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y minimos locales y hacer un grafico de f.
Solucion: para poder resolver este ejercicio lo que debemos hacer es derivar la funcion (f) y luego igualar a cero la funcion que nos da al derivar (f '), nos quedaria asi:
como podemos ver nos queda un producto de funciones con lo cual para que esto sea igual a cero nos alcanza con que una de ellas de cero, como la funcion exponencial nunca nos va a dar cero tenemos que ver para que valores el polinomio es igual a cero.
si resolvemos esta ecuacion cuadratica nos va a dar que se cumple para valores de x=-3 y x=3 con lo cual ya sabemos cuales son nuestros posibles puntos de minimo o maximo, para saber los intervalos de crecimiento vamos a tener que evaluar la funcion (f) y ver que valores nos da.
aca se ve muy claro que nuestro intervalo de crecimiento es:
3- Calcular
Solucion: para resolver esta integral aplicamos el metodo por partes, recordemos cual es su formula.
voy a tomar u=x y dv=(4+cosx)dx con lo cual si derivo u me queda du=dx y si integro dv me quedaria v=4x+senx con esto ahora puedo armar mi integral y resolverla...
aclaremos que k es una constante que siempre que integramos aparece no se olviden de eso.
4- Hallar el area encerrada por los graficos y=x+5 ; y=-3x-2 y el eje Y
Solucion:
como podemos ver necesitamos saber en que punto se cortan estas dos funciones para poder integrar y calcular el area, veamos como encontramos ese punto.
como todos sabemos para lograr esto tenemos que igualar nuestras funciones, nos quedaria asi:
x+5=-3x-2 resolvemos esta ecuacion y nos va a dar x=-1,75, ahora ya tenemos nuestros limites de integracion que sera x=-1,75 y x=0, pero nos falta definir cual sera nuestro "techo" y "piso"
y=x+5 sera nuestro techo
y=-3x-2 nuestro piso
escribir la ecuacion de la recta tangente al grafico de f en el punto de abscisa x = 3.Solucion: Lo primero que debemos recordar es que la derivada de una funcion f nos da otra funcion (f ' ) que si esta nueva funcion la evaluamos en un punto nos va a dar la pendiente de la recta tangente a f en ese punto, bueno con esta aclaracion ya sabemos que debemos derivar la funcion que nos dieron (f), pero antes veamos cual es la expresion de una recta generica:
y = mX + b donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.
esta es la derivada de nuestra funcion, ahora la evaluamos en el punto x = 3. y nos queda lo siguiente.
con este nuevo dato ahora podemos averiguar el valor de b de la siguiente forma:
5 = 5/2.3 + b ==> b = -5/2 con lo cual la recta que nos pides es y = 5/2.X - 5/2
2 - Dada la funcion
hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, maximos y minimos locales y hacer un grafico de f.Solucion: para poder resolver este ejercicio lo que debemos hacer es derivar la funcion (f) y luego igualar a cero la funcion que nos da al derivar (f '), nos quedaria asi:
como podemos ver nos queda un producto de funciones con lo cual para que esto sea igual a cero nos alcanza con que una de ellas de cero, como la funcion exponencial nunca nos va a dar cero tenemos que ver para que valores el polinomio es igual a cero.
si resolvemos esta ecuacion cuadratica nos va a dar que se cumple para valores de x=-3 y x=3 con lo cual ya sabemos cuales son nuestros posibles puntos de minimo o maximo, para saber los intervalos de crecimiento vamos a tener que evaluar la funcion (f) y ver que valores nos da.
aca se ve muy claro que nuestro intervalo de crecimiento es:
3- Calcular
Solucion: para resolver esta integral aplicamos el metodo por partes, recordemos cual es su formula.
voy a tomar u=x y dv=(4+cosx)dx con lo cual si derivo u me queda du=dx y si integro dv me quedaria v=4x+senx con esto ahora puedo armar mi integral y resolverla...
aclaremos que k es una constante que siempre que integramos aparece no se olviden de eso.
4- Hallar el area encerrada por los graficos y=x+5 ; y=-3x-2 y el eje Y
Solucion:
como podemos ver necesitamos saber en que punto se cortan estas dos funciones para poder integrar y calcular el area, veamos como encontramos ese punto.
como todos sabemos para lograr esto tenemos que igualar nuestras funciones, nos quedaria asi:
x+5=-3x-2 resolvemos esta ecuacion y nos va a dar x=-1,75, ahora ya tenemos nuestros limites de integracion que sera x=-1,75 y x=0, pero nos falta definir cual sera nuestro "techo" y "piso"
y=x+5 sera nuestro techo
y=-3x-2 nuestro piso
