1) Hallar analíticamente todos los puntos del gráfico de f[x]=4x que distan (10)^0.5 del punto P=(1;3)
2) Sea la función cuadrática f(x)=2x²+12x+C. Determinar el valor de cER (c pertenece a los reales) para que f tenga un solo cero. Para el valor de C hallado determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Solucion: para que una funcion cuadratica tenga un solo cero, osea una sola raiz, necesariamente el vertice de la parabola tiene que cortar al eje X, entonces lo que tenemos que lograr es que las coordenadas del vertice sea del tipo V=(Xv;0) ahora bien veamos como podemos calcular la coordenada X del vertice (Xv), se puede usar la siguiente formula: Xv=-b/(2a) siendo en este caso b=12 y a=2 con lo cual tenemos que Xv=-3 ahora para calcular el Yv podemos evaluar la funcion f(x) en el valor de Xv con lo cual nos queda Yv= 2(-3)^2+12(-3)+c y esto tiene que ser igual a cero debido a que nuestro vertice tenia que ser de la forma V=(Xv;0) resolvemos y nos queda 0 = 2x9 - 12x3 + c => 0 = 18-36 + c => c=18, con todo esto calculamos el valor de C y resolvimos el problema. Para la segunda parte podemos graficar en una hoja y ver que el intervalo de decrecimiento va desde -infinito hasta -3 y el intervalo de crecimiento desde -3 hasta infinito.
3) Sea f(x)=2X+1 , g(x)=1/x+2 y h=fog. Hallar xER/h(x)=5
Solución: Este ejercicio lo que nos pide es hallar la funcion h(x) que en realidad es una composicion de funciones, lo que debemos saber es que fog significa f[g(x)], por lo tanto si realizamos la composicion obtendremos la expresion de h, con lo cual nos quedaria h(x) = 2(1/x+2) + 1, ahora lo que nos pide es que hallemos el o los valores de "x" que hacen que h evaluado en ese valor me devuelva un 5. osea nos quedaria lo siguiente
5 = 2/(x+2) + 1
5-1 = 2/(x+2)
4 = 2/(x+2)
4(x+2) = 2
x+2 = 1/2
x = 1/2 - 2
x = -3/2
4) Sea f(x)=e-(3x+5)-1. Hallar el C+ y el C- de f
Solución: en este ejercicio lo que nos piden es que analicemos la funcion f(x) y que demos cuales son los conjuntos de positividad y negatividad. Para poder hacer eso es necesario hallar donde la funcion corta al eje X osea tenemos que hallar las raices de la funcion, veamos como se hace eso.
Para hallar la raiz de cualquier funcion lo que debo plantear f(x)=0 y de esta manera voy a obtener el/los valores que cumplen esta condicion y que se conocen con el nombre de raices de una funcion.
f(x)=0 => e-(3x+5)-1=0 paso el 1 para el otro lado
e-(3x+5) = 1 aplico logaritmo natural a ambos lados del igual
ln[e-(3x+5)] = ln (1) aplico propiedades de los logaritmos
-(3x+5)ln(e) = 0 debo recordar que el logaritmo de 1 (en cualquier base) es cero.
-3x-5 = 0
3x = -5 => X= -5/3 esta es la unica raiz.
ahora todo lo que nos queda es ver si el intervalo de la izquierda de nuestra raiz es positivo o negativo para esto simplemento evaluamos la funcion en un numero menor que -5/3 por ejemplo -2.
f(-2) = 1,71828 osea un valor positivo con lo cual ya podemos dar la respuesta.
C+: (-infinito; -5/3)
C-: (-5/3; +infinito).
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Solucion: Para poder resolver este ejercicio vamos a tener que aplicar la formula de distancia entre dos puntos:
siendo las coordenadas de P=(1;3) y las coordenadas de los puntos de la funcion f(x)=(x;4x), reemplazando en la formula obtenemos:
si lo resolvemos vamos a obtener una funcion cuadratica, la cual nos va a dar dos soluciones, esos dos valores son las coordenadas X de cada uno de esos puntos, resolvamos la ecuacion.
10 = (x-1)^2 + (4x-3)^2
10 = (x^2-2x+1)+(16x^2-24x+9)
10 = 17x^2 - 26x +10
17x^2 - 26x = 0 saco factor comun x(17x - 26) = 0 y esto se cumple para x=0 o para x=26/17 entonces tenemos que los dos puntos son para x=0 => A=(0;0) y para x=26/17 => B=(26/17;104/17) si queremos podemos comprobar que con estos dos valores la distancia al punto P vale raiz cuadrada de 10.
10 = (x-1)^2 + (4x-3)^2
10 = (x^2-2x+1)+(16x^2-24x+9)
10 = 17x^2 - 26x +10
17x^2 - 26x = 0 saco factor comun x(17x - 26) = 0 y esto se cumple para x=0 o para x=26/17 entonces tenemos que los dos puntos son para x=0 => A=(0;0) y para x=26/17 => B=(26/17;104/17) si queremos podemos comprobar que con estos dos valores la distancia al punto P vale raiz cuadrada de 10.
2) Sea la función cuadrática f(x)=2x²+12x+C. Determinar el valor de cER (c pertenece a los reales) para que f tenga un solo cero. Para el valor de C hallado determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
3) Sea f(x)=2X+1 , g(x)=1/x+2 y h=fog. Hallar xER/h(x)=5
Solución: Este ejercicio lo que nos pide es hallar la funcion h(x) que en realidad es una composicion de funciones, lo que debemos saber es que fog significa f[g(x)], por lo tanto si realizamos la composicion obtendremos la expresion de h, con lo cual nos quedaria h(x) = 2(1/x+2) + 1, ahora lo que nos pide es que hallemos el o los valores de "x" que hacen que h evaluado en ese valor me devuelva un 5. osea nos quedaria lo siguiente
5 = 2/(x+2) + 1
5-1 = 2/(x+2)
4 = 2/(x+2)
4(x+2) = 2
x+2 = 1/2
x = 1/2 - 2
x = -3/2
4) Sea f(x)=e-(3x+5)-1. Hallar el C+ y el C- de f
Solución: en este ejercicio lo que nos piden es que analicemos la funcion f(x) y que demos cuales son los conjuntos de positividad y negatividad. Para poder hacer eso es necesario hallar donde la funcion corta al eje X osea tenemos que hallar las raices de la funcion, veamos como se hace eso.
Para hallar la raiz de cualquier funcion lo que debo plantear f(x)=0 y de esta manera voy a obtener el/los valores que cumplen esta condicion y que se conocen con el nombre de raices de una funcion.
f(x)=0 => e-(3x+5)-1=0 paso el 1 para el otro lado
e-(3x+5) = 1 aplico logaritmo natural a ambos lados del igual
ln[e-(3x+5)] = ln (1) aplico propiedades de los logaritmos
-(3x+5)ln(e) = 0 debo recordar que el logaritmo de 1 (en cualquier base) es cero.
-3x-5 = 0
3x = -5 => X= -5/3 esta es la unica raiz.
ahora todo lo que nos queda es ver si el intervalo de la izquierda de nuestra raiz es positivo o negativo para esto simplemento evaluamos la funcion en un numero menor que -5/3 por ejemplo -2.
f(-2) = 1,71828 osea un valor positivo con lo cual ya podemos dar la respuesta.
C+: (-infinito; -5/3)
C-: (-5/3; +infinito).
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