1. Hallar el punto P=(x0,y0) en que la recta de ecuación y=-2x+4 es tangente al gráfico de f(x) = x3-5x+2.
Para resolver este ejercicio primero tenemos que calcular la derivada de f(x).
Ahora sabemos que si evaluo la derivada en un punto, esto me va a dar el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto, como la recta que quiero que sea tangente tiene pendiente m=-2, entonces f '(x0) = -2
con esto ya tengo los posibles valores de ''x0'' del punto P=(x0,y0), para hallar el valor de y0 debo utilizar la informacion que me da la recta tangente, planteo lo siguiente.
el par x=-1 ; y=6 (ya que en este punto coinciden los valores de f(x) y la recta tangente) son las coordenadas del punto que buscamos >> P=(-1,6), se va a ver mas claro en el siguiente grafico.
2. Sea 
Hallar dominio,
ecuación de la asíntota vertical, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
extremos locales, y hacer un gráfico aproximado de f.
Hallar dominio,
ecuación de la asíntota vertical, intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
extremos locales, y hacer un gráfico aproximado de f.
Antes de pasar a analizar esta funcion voy a reescribirla.
Ahora que tenemos expresada a nuestra funcion como una division de polinomios, podemos hallar el dominio, para eso tenemos que ver en que puntos la funcion no esta definida, en nuestro caso al ser una division tenemos que eliminar los valores que hacen cero al denominador, es facil ver que el unico valor que no puede tomar la funcion es x=0, osea el dominio son todos los reales menos el cero, simbolicamente lo podemos expresar asi.
Para el calculo de la asintota vertical tenemos que ver cuales son los valores que no puede tomar nuestra funcion, como vimos en el paso anterior ese valor es x=0 por lo tanto nuestra asintota vertical se da para x=0.
Para calcular los extremos locales tenemos que derivar nuestra funcion y hallar los valores que hacen esa derivada cero, veamos como nos queda.
ya obtuvimos la derivada ahora para que sea cero nos alcanza con que el numerador lo sea, nos quedaria lo siguiente.
Para el calculo de la asintota vertical tenemos que ver cuales son los valores que no puede tomar nuestra funcion, como vimos en el paso anterior ese valor es x=0 por lo tanto nuestra asintota vertical se da para x=0.
Para calcular los extremos locales tenemos que derivar nuestra funcion y hallar los valores que hacen esa derivada cero, veamos como nos queda.
ya obtuvimos la derivada ahora para que sea cero nos alcanza con que el numerador lo sea, nos quedaria lo siguiente.
como vemos tenemos un extremo local en x=1/2, para saber si es un minimo o maximo vamos a evaluar nuestra funcion en este punto y ver que valor nos devuelve
f(1/2)=3
Ahora tomamos valores a izquierda y derecha de x=1/2
f(1/4)=4.25
f(1)=5
Como podemos ver a izquierda toma valores mayores que f(1/2) y derecha tambien, con esto puedo ver que mi extremo es un minimo local.
Para completar nuestro analisis vamos a calcular los limites cuando x tiende a cero tanto por la izquierda como por la derecha, de esta forma vamos a poder graficar nuestra funcion.
cuando me acerco a cero por la izquierda mi funcion tiende a menos (-) infinito, si lo hago por la derecha tiende a mas (+) infinito, con todo esto veamos como queda la grafica de la funcion.
f(1/2)=3
Ahora tomamos valores a izquierda y derecha de x=1/2
f(1/4)=4.25
f(1)=5
Como podemos ver a izquierda toma valores mayores que f(1/2) y derecha tambien, con esto puedo ver que mi extremo es un minimo local.
Para completar nuestro analisis vamos a calcular los limites cuando x tiende a cero tanto por la izquierda como por la derecha, de esta forma vamos a poder graficar nuestra funcion.
cuando me acerco a cero por la izquierda mi funcion tiende a menos (-) infinito, si lo hago por la derecha tiende a mas (+) infinito, con todo esto veamos como queda la grafica de la funcion.
3. Hallar una primitiva F(x) de f(x)=xsen(2x2)que verifique F(0)=1.
Lo que nos estan pidiendo es que calculemos la integral de f(x), veamos como lo resolvemos.
Como podemos ver use el metodo de sustitucion para resolver la integral, ahora tenemos que hallar el valor de la constante C, ya que nos dicen que F(0)=1.
Finalmente la expresion de nuestra F(x) es:
4. Calcular el área de la región encerrada por los gráficos de f(x)=x2-5x+4 y g(x)=-2x2+10x-8.
Antes de resolver este ejercicio veamos como son su graficas y cual es el area que debo calcular.
Graficamente vemos los puntos donde se cortan las funciones, pero esto lo tenemos que hacer en forma analitica para estar seguro de esos valores, veamos como se hace.
Ahora que tenemos los limites de integracion vamos a calcular el area, pero para hacer esto vamos a partir el area que queremos calcular en dos regiones, A1 va a tener como techo a g(x) y como piso a y=0 y A2 va a tener como techo a y=0 y como piso a f(x).
