Fisica y Matematicas

CBC Matematica - Primer parcial 2005

2010-11-21T14:40:00.000-08:00

1) Determinar todos los valores de "a" perteneciente a los Reales para que la distancia de P=(a,-1) a Q= (6,2) sea igual a 5.

Solución: Otra vez como en el parcial anterior para poder hallar el/los valores de "a" tal que cumpla la condicion que nos piden vamos a tener que usar la formula de distancia entre dos puntos, veamos como nos queda.

donde "d" es el valor de la distancia, en nuestro caso tenemos que reemplazar por los valores de los puntos P y Q, con lo que nos quedaria lo siguiente.

ahora lo que nos queda es resolver esta ecuacion cuadratica y ver cuales son los valores de "a".
a^2 -12a +20 = 0 aplicamos la formula vista anteriormente y obtenemos los dos valores de "a" ==> a = 2 y a =10. Podemos calcular ahora la distancia con estos valores de "a" y vamos a ver que cumple lo que nos pedian.

2) Hallar la función cuadrática f cuyo gráfico es la parábola de vértice (-2, 5) que pasa por (-3,7). Para la función f hallada, dar el intervalo de crecimiento.

Solucion: Para resolver este ejercicio vamos a tener que recordar que una funcion cuadratica podiamos escribirla en funcion de las coordenadas de su vertice.
f(x)= a(X-Xv)^2 + Yv con V=(Xv;Yv) siendo V el vertice de la parabola y Xv e Yv las coordenas de este, ahora con el dato que nos dan podemos escribir la expresion de nuestra parabola de segundo grado.
f(x)=a(X-(-2))^2 + 5 pero nos esta faltando el valor de "a", para poder hallarlo vamos a usar el otro dato que nos dan que es el punto por donde pasa la parabola, entonces planteamos lo siguiente f(-3)=7.
7=a(-3+2)^2 + 5 => 7=a + 5 => a=2.
entonces la expresion de nuestra funcion cuadratica es f(x)=2(X+2)^2 +5, ahora para poder dar el intervalo de crecimiento lo unico que tenemos que ver es que la funcion crece a partir del vertice ya que como a>2 la grafica de la parabola es como una U, por lo tanto el intervalo pedido es: [-2; +infinito).

3) Dada f = 6/(x-1) calcular f-1 (x) y dar dominio de f-1 e imagen de f-1.

Solucion: para calcular la inversa de una funcion debemos intercambiar el nombre de las variables, en este caso tengo y = 6/(x-1) y lo que quiero obtener es la funcion inversa, para esto cambio el nombre de las variables y me queda x = 6/(y-1), ahora lo que debo hacer es despejar la variable "y".
y-1 = 6/x => y = (6/x) +1 con esto obtube f-1(x). Ahora para ver el dominio tengo que ver cuales son los valores de X en los que la funcion no puede ser evaluada, en este caso es muy facil darse cuenta de que X no puede tomar el valor cero (0) ya que la division por cero no esta definida, osea el dominio son todos los numero Reales excepto el cero. Para ver la imagen de ésta debo ver que valores me devuelve la funcion y para eso puedo graficarla y ver que esta funcion tiene una asintota horizontal en Y=1 osea que mi imagen son todos los numeros Reales excepto el numero 1.

4)Dadas f(x)=ln (x+6), g(x)= x^2 -21 y h=fog, hallar los ceros y los intervalos de positividad de h.

Solucion: nuevamente tenemos una composicion de funciones donde h=f[g(x)], si realizamos esta composicion nos quedara lo siguiente. h= ln (x^2 - 21 + 6) si resolvemos lo que esta dentro del parentesis nos queda finalmente h = ln (x^2 - 15), ahora podemos encontrar los ceros de esta nueva funcion, para lo cual debemos plantear h=0 esto nos lleva al siguiente razonamiento, para que la funcion devuelva un cero debemos ver que el argumento del logaritmo tiene que ser igual a 1, ¿porque? por que sabemos que el logaritmo de "1" en cualquier base es cero.
x^2 -15 = 1 >> x^2 = 16 >> |x| = 4 >> x=4 ó x=-4 estos son los dos ceros de la función. Para ver el intervalo de positividad tengo que ver para que valores la funcion h devuelve valores positivos, para eso tengo que ver que valores de la funcion cuadratica hacen que sea mayor a cero.
x^2 - 15 > 0 >> x^2 > 15 >> |x| > 15^0.5 por lo tanto para valores mayores a la raiz cuadrada de 15 y para valores menores a la -(15^0.5) la funcion h toma valores positivos y este es el intervalo que no pedian.

CBC Matematica - Primer parcial 2005

2010-09-17T07:39:00.000-07:00

1) Hallar analíticamente todos los puntos del gráfico de f[x]=4x que distan (10)^0.5 del punto P=(1;3)

Solucion: Para poder resolver este ejercicio vamos a tener que aplicar la formula de distancia entre dos puntos:

siendo las coordenadas de P=(1;3) y las coordenadas de los puntos de la funcion f(x)=(x;4x), reemplazando en la formula obtenemos:

si lo resolvemos vamos a obtener una funcion cuadratica, la cual nos va a dar dos soluciones, esos dos valores son las coordenadas X de cada uno de esos puntos, resolvamos la ecuacion.
10 = (x-1)^2 + (4x-3)^2
10 = (x^2-2x+1)+(16x^2-24x+9)
10 = 17x^2 - 26x +10
17x^2 - 26x = 0 saco factor comun x(17x - 26) = 0 y esto se cumple para x=0 o para x=26/17 entonces tenemos que los dos puntos son para x=0 => A=(0;0) y para x=26/17 => B=(26/17;104/17) si queremos podemos comprobar que con estos dos valores la distancia al punto P vale raiz cuadrada de 10.

2) Sea la función cuadrática f(x)=2x²+12x+C. Determinar el valor de cER (c pertenece a los reales) para que f tenga un solo cero. Para el valor de C hallado determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Solucion: para que una funcion cuadratica tenga un solo cero, osea una sola raiz, necesariamente el vertice de la parabola tiene que cortar al eje X, entonces lo que tenemos que lograr es que las coordenadas del vertice sea del tipo V=(Xv;0) ahora bien veamos como podemos calcular la coordenada X del vertice (Xv), se puede usar la siguiente formula: Xv=-b/(2a) siendo en este caso b=12 y a=2 con lo cual tenemos que Xv=-3 ahora para calcular el Yv podemos evaluar la funcion f(x) en el valor de Xv con lo cual nos queda Yv= 2(-3)^2+12(-3)+c y esto tiene que ser igual a cero debido a que nuestro vertice tenia que ser de la forma V=(Xv;0) resolvemos y nos queda 0 = 2x9 - 12x3 + c => 0 = 18-36 + c => c=18, con todo esto calculamos el valor de C y resolvimos el problema. Para la segunda parte podemos graficar en una hoja y ver que el intervalo de decrecimiento va desde -infinito hasta -3 y el intervalo de crecimiento desde -3 hasta infinito.

3) Sea f(x)=2X+1 , g(x)=1/x+2 y h=fog. Hallar xER/h(x)=5

Solución: Este ejercicio lo que nos pide es hallar la funcion h(x) que en realidad es una composicion de funciones, lo que debemos saber es que fog significa f[g(x)], por lo tanto si realizamos la composicion obtendremos la expresion de h, con lo cual nos quedaria h(x) = 2(1/x+2) + 1, ahora lo que nos pide es que hallemos el o los valores de "x" que hacen que h evaluado en ese valor me devuelva un 5. osea nos quedaria lo siguiente
5 = 2/(x+2) + 1
5-1 = 2/(x+2)
4 = 2/(x+2)
4(x+2) = 2
x+2 = 1/2
x = 1/2 - 2
x = -3/2

4) Sea f(x)=e-(3x+5)-1. Hallar el C+ y el C- de f

Solución: en este ejercicio lo que nos piden es que analicemos la funcion f(x) y que demos cuales son los conjuntos de positividad y negatividad. Para poder hacer eso es necesario hallar donde la funcion corta al eje X osea tenemos que hallar las raices de la funcion, veamos como se hace eso.
Para hallar la raiz de cualquier funcion lo que debo plantear f(x)=0 y de esta manera voy a obtener el/los valores que cumplen esta condicion y que se conocen con el nombre de raices de una funcion.

f(x)=0 =>   e-(3x+5)-1=0   paso el 1 para el otro lado
                  e-(3x+5) = 1    aplico logaritmo natural a ambos lados del igual
                 ln[e-(3x+5)] = ln (1)    aplico propiedades de los logaritmos
                 -(3x+5)ln(e) = 0     debo recordar que el logaritmo de 1 (en cualquier base) es cero.
                   -3x-5 = 0
                      3x = -5   =>    X= -5/3 esta es la unica raiz.
ahora todo lo que nos queda es ver si el intervalo de la izquierda de nuestra raiz es positivo o negativo para esto simplemento evaluamos la funcion en un numero menor que -5/3 por ejemplo -2.
f(-2) = 1,71828 osea un valor positivo con lo cual ya podemos dar la respuesta.

C+: (-infinito; -5/3)
C-: (-5/3; +infinito).

Ejercicio de Pitagoras

2010-05-24T18:28:00.000-07:00

este ejercicio pedia dados los puntos A=(-1,1) B=(3,1) y C=(2,3) mostrar que forman un triangulo rectangulo, como vemos la mejor forma de verlo es graficando los puntos y uniendolos, pero como estan dados en forma de coordenadas a algunos les parece complicado interpretarlos, ademas porque mas alla del ver en el grafico que efectivamente es un triangulo rectangulo tenemos que mostrarlo de forma analitica, para esto vamos a aplicar operaciones con vectores que es un tema de algebra. para esto vamos a definir los vectores con los que vamos a trabajar.
u va a ser el vector que va del punto C al A u=(-3,-2)......continuara.

velocidad, frecuencia y longitud de onda

2010-05-03T09:28:00.000-07:00

estuve viendo que a muchos les confunde o no entienden muy bien cual es la relacion que existe entre estas tres caracteristicas de una onda, entonces veamos cual es la formula que los relaciona.

donde T es el periodo de la onda, recordemos que el periodo es cuanto tarda en completar una onda completa y se mide en segundos, mientras que la frecuencia es la cantidad de ciclos por segundos y se mide en Hertz [Hz]. ahora veamos un ejemplo para ver como se aplica.

ejercicio: una piedra cae al agua de un estanque y las partículas de agua comienzan a oscilar con un periodo T=0,5s. Se forman ondas la longitud de onda de las cuales es λ= 30cm.

1- Cual es la frecuencia de ondas?
2- Cual es su velocidad de propagación?
3- Cuanto tiempo tarda la onda a alcanzar un punto situado a 3,6 m desde donde a caído o la piedra?
1) f = 1/0,5s >> f=2Hz
2) v = 2Hz.0,30m >> v = 0,6m/s
3) df = Do + v.t donde Do es la distancia inicial y la cual suponemos que es cero.
t = df/v >> t = 3.6m/0,6m/s >> t=6s

Secuencia Logica Facultad de Ingenieria de Carabobo (Venezuela)

2010-04-23T05:18:00.000-07:00

Bueno una vez mas se le presentaron unos ejercicios para resolver a mi amigo Adrian, les paso el enunciado y a continuacion la resolucion de alguno de ellos.

a) 1/2 5/2  4 6 15/2 X   11
b) 8/3 3 2 7/3 4/3 X 2/3 1
c) 1/2 3/2 7/6 13/6 11/6 X 5/2
d) 9 3v2   2   X   4/9   Y   8/81
e) 4   8   10   30   32   128   130   X   Y

Resolucion:

a) bueno aca vemos que para pasar de 1/2 a 5/2 lo que hace es sumar 2, pero para pasar de 5/2 a 4 suma 1,5, luego para pasar a 6 suma 2 y luego 1,5, entonces el valor de x es X=19/2
b) aca veamos como queda esto escribiendolo nuevamente y vamos a ver cual es el patron de aparicion.
           8/3       3       2     7/3     4/3        X         2/3    1
           8/3     9/3    6/3    7/3     4/3   5/3     2/3    3/3   como vemos X=5/3
c)en este caso veamos que si sumamos el primer y ultimo numero el resultado me da 3, luego si sumo 3/2+X me tendra que dar un valor igual a 3, ya que si sumo 7/6+11/6 esta suma tambien me da 3 y el numero del medio (13/6) al parecer esta solo para molestar, rellenar o desconcertar en mi opinion, bueno con todo eso dicho el valor de x es X=3/2.
e) 4           8      10     30      32       128        130         X        Y
.....x2.......+2......x3.....+2......x4.......+2........x5......+2.......
como vemos para pasar de 4 a 8 multiplica al primero por 2, luego de 8 a 10 suma 2, luego multiplica por 3, luego suma 2, etc, cada vez que tiene que multiplicar lo hace por un numero mas, con todo esto podemos llegar a saber que X=130x5 >> X=650 >> Y=652
bueno eso es todo por ahora me quedan ver el d).

Descomposicion de Fuerzas en un Plano inclinado

2010-04-21T09:50:00.000-07:00

como podemos ver la descomposicion de fuerzas se hace con respecto a un eje que es perpendicular al plano y otro que es coincidente con el plano, tambien se aprecia que el peso que es simpre vertical queda descompuesto en dos vectores uno vertical (V) y otro horizontal (H), ahora para saber cuanto valen estas componentes debo calcularlo usando el angulo quedando asi:
H = P.sen(alfa)
V = P. cos(alfa)

Condiciones de Equilibrio:

esta primera condicion dice que la sumatoria de todas las fuerzas en el eje X deber ser igual a 0, lo mismo dice la segunda condicion pero en el eje Y.

Secuencias alfanumericas Facultad de Ingenieria de Carabobo (Venezuela)

2010-04-21T05:39:00.000-07:00

Ayer vi este ejercicio y la verdad que esta muy bueno dado que lo obliga a uno a pensar y a usar mucho su imaginacion ademas de que para resolverlo no basta con mirar sino que hay que observar, bueno adrian como te lo habia dicho ayer aca explico los ejercicios que hasta ahora pude resolver, pero antes les dejo el enunciado.

1) 11A 23F 35Ñ 45S 51__
2) 25V 82O 14C 12D 6__
3AD5 CH11 FL18 NR__
4) CUARTO4 SISE6 CENO11 TIRANTE__
5) (1)ARBOL(12) (3)COCHE(5) ( )PERRO( )
6) CORTES(3) UNIDO(1) COCINO( )
7) BECA(2532) FACE(6135) EDAD(5415) HACE(....)
8) TATA+CASA= LOCO A=3, T=1, S=7 ¿Cuál es la clave de la palabra LOCO?
9) ATE+ATE=COSA E=3, T=4 ¿Cuál es la clave de la palabra COSA?
10) MONO+MONO=LOLA ¿Cuál es la clave de la palabra LOLA si se sabe que M=2 y N=7, O no pertenece a 0?
11) COPA+PASAR= APARO ¿Cuál es la clave de COPA si se sabe que A=2 y R=3?
12) ARROZ+ZORRA=EZATO ¿Cuál es la clave de EZATO si se sabe que A=3, O=4 y T=0?

Resolucion:

1. a       2. b       3. c      4. d        5. e       6. f      7. g       8. h       9. i       10. j       11. k        12. l
13. m    14. n     15. ñ    16. o      17. p     18. q   19. r     20. s     21. t      22. u      23. v       24. w
25. x     26. y     27.z

antes de comenzar con la resolucion de algunos puntos lo que esta arriba es el alfabeto numerado segun su orden de aparicion a esto lo voy a llamar tabla.

1) 11A 23F 35Ñ 45S 51E es la letra que representa el producto de los numeros segun la tabla.
2) 25V 82O 14C 12D 6S en este caso la letra es la primer letra del numero por eso veinticinco esta con V, doce con D, etc.
3) AD5 CH11 FL18 NR33 es la suma de las letras de la tabla.
4) cuarto4 sise6 ceno11 tirante30 es el numero que se puede formar con esa palabra.
5) (1)ARBOL(12) (3)COCHE(5) (17)PERRO(16) el primer y ultimo numero son la posicion de la primera y ultimma letra de la palabra segun la tabla.
6) cortes(3) unido(1) cocino(5) tambien son los numeros que se pueden formar con algunas letras de esas palabras.
7) BECA(2532) FACE(6135) EDAD(5415) HACE(8135) en este caso cada letra esta representado segun el numero de la tabla (h=8 a=1 c=3 e=5), aunque me parece que hay un error en la primer palabra porque BECA deberia ser 2531 y no 2532, bueno consultalo con tu profesor para asegurarnos de que fue un error.
8) bueno en este caso es mas complicado la explicacion,
T+C=L
A+A=O
T+S=C
A+A=O
pero nos dicen que A=3 T=1 y que S=7 entonces tenemos lo siguiente. A+A=6 >> O=6 T+S=8 >> C=8
T+C=9 >> L=9 con todo esto obtengo LOCO=9686.

Sistema de ecuaciones lineales

2010-04-15T18:44:00.000-07:00

un ejemplo de sistema de ecuaciones es el siguiente:

existen varios metodos para su resolucion, veamos los mas comunes.

1) Metodo de Igualacion: en este metodo lo que tenemos que hacer es lo siguiente:
1) despejar de la primera ecuacion cualquiera de las variables (x o y)
2) despejar de la segunda ecuacion la misma variable que despejamos en el paso anterior.
3) igualamos la variables que despejamos y resolvemos la ecuacion.
ejemplo de aplicacion:
1) y = 11 -3X
2) y = 5X -13
3) 11 - 3X = 5X -13 >> resuelvo la ecuacion y me da que X=3
ahora como obtuve el valor de "X", para saber cual es el valor de "Y" reemplazo el valor hallado en cualquiera de las ecuaciones del punto 1) o 2), por ejemplo lo reemplazo en 1) Y= 11 - 3.3 >> Y=2 con esto ya obtuve cuales son los pares de valores X e Y que cumplen con el sistema de ecuaciones dado.

2) Metodo de Sustitucion: este metodo es parecido al anterior y como siempre a lo que llegamos es tener una ecuacion con una sola variable la cual si es posible resolver, veamos los pasos a seguir:
1) despejar de la primera ecuacion cualquiera de las variables (x o y).
2) sustituir la variable despejada en el punto 1) en la segunda ecuacion.
3) resolvemos la ecuacion que nos quedo.
ejemplo de aplicacion:
1) y = 11 -3X
2)reemplazo la "y" despejada en el paso 1) en la segunda ecuacion >> 5x - (11 - 3x) = 13
3) resuelvo esta ecuacion 5x + 3x = 13 + 11 >> 8x = 24 >> x=3 ahora para saber cual es el valor de "y" reemplazo este valor hallado en la ecuacion del punto 1) y = 11 - 3.3 >> y=2.

3) Metodo de los determinantes: para poder estudiar este metodo primero vamos a definir que se entiende por determinante.

para un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas el determinante de coeficientes principales se calcula como se ve en la figura. Aplicado a nuestro ejemplo nuestro sistema de ecuaciones el determinante de coefic. principales seria el siguiente:

a este determinante se lo llama delta (el que parece un triangulo). una vez que calculamos delta el paso siguiente es obtener deltaX y deltaY, que se calculan de la siguiente manera.

una vez calculado deltaX y deltaY vamos a poder calcular el valor de las variables X e Y de la siguiente forma:

X=deltaX/delta e Y=deltaY/delta de esta forma llego a los valores buscados.

X=-24/-8 = 3 Y=-16/-8 = 2

4) EN BREVE AGREGO EL METODO GRAFICO..............TENGAN PACIENCIA.

5) Metodo de Gauss-Jordan: bueno este para mi es el mejor metodo con el que contamos para un sistema de ecuaciones de nxn, no solo para 2x2, pero para la explicacion necesitamos saber como tenemos que tener expresado nuestro sistema de ecuaciones para poder aplicar este metodo.

supongamos tener que resolver este sistema de ecuaciones (3x3), observemos que tenemos todas las variables del lado izquierdo y ordenadas de forma que la primer columna es de "x", la segunda de "y" y la tercera de "z", esto es muy importante ya que tenemos que tener las mismas variables en la misma columna.

bueno como vemos al crear la matriz extendida de los coeficientes nos queda como la figura de la izquierda, ahora vamos a ver cual es el fin del metodo y que operaciones se pueden realizar para llegar a la solucion. El fin de este metodo es obtener ceros en todas las posiciones por debajo de la diagonal principal (en este caso la diagonal principal esta formada por 2; -1;2), aclaremos que la diagonal principal es la que va desde la posicion (1,1)(2,2)(3,3).......(n,n) entendiendo que la posicion (n,m) es la fila numero "n" y la columna numero "m", bueno ahora si pasemos a las operaciones permitidas para resolver los sistemas mediante este metodo.

1) sumar una fila a otra.
2) multiplicar una fila por una constate (numero) k.
3) dividir una fila por una constante (numero) k.
4) sumar o restar el multiplo de una fila a otra fila.
5) intercambiar de lugar una fila por otra.
bueno como a nosotros nos va a ser mas facil si tenemos un uno en la posicion (1,1) vamos a dividir esta primer fila por 2 con lo que nos quedaria como lo muestra la figura.

como vemos para pasar a la segunda matriz ampliada sume la fila 2 +3f1 y el resultado lo puse en la segunda fila, para la tercer fila sume 2f1 a la fila3 y su resultado lo puse en la fila 3, con todo esto me queda la imagen de la matriz del medio donde se puede ver que obtuve ceros en la primer columna debajo de la diagonal principal, ahora como la segunda fila tiene fracciones lo multiplique por 2 y con esto obtuve la matriz de la derecha.

lo que nos faltaba era obtener un cero en la posicion del 2 de la segunda columna, para eso restamos el doble de la fila 2 y su resultado lo colocamos en el fila3, con esto obtenemos lo que buscabamos, ahora lo que falta para terminar de resolver este sistema es ver que la tercer fila ya me da el valor de z, ¿por que? porque ahora puedo plantear que -z=1 con lo cual ya tengo el valor de "z" >> z=-1, para obtener el valor de "y" tengo que plantear y + z = 2 pero como ya se el valor de z obtengo que y=3, por ultimo para saber el valor "x" planteo la ecuacion de la primer fila
x+(1/2)y-(1/2)z = 4 >> x=2.